【高级管理学】—— consumer theory

课程名称:高级管理学
授课人:Ying Kong
本章梗概:介绍了消费者的相关理论,如效用函数,需求曲线,弹性等概念。

Preference

bundle:多个不同种类商品的集合,比如 bundle x 为 5 个商品 1 和 10 个商品 2 组成。

preference:对于不同的 bundle,消费者可以选择其中的一个,对于消费者,两个 bundle 之间会有选择偏好,这就是 preference。对于两个 bundle $x$ 和 $y$,他们之间有三种关系,(由于找不到相关的经济学符号,因此用数学符号来代替)

  • strict preference:$x$ is more preferred than $y$, denoted as $x>y$

  • weak preference:$x$ is as at least preferred as y, denoted as $x \geq y$

  • indifference:$x$ is exactly as preferred as y, denoted as $x \sim y$

preference relations

  • $(x \geq y) and (y\geq x) \rightarrow (x\sim y)$

  • $(x \geq y) and (not y \geq x) \rightarrow (x > y)$

  • For any two bundles $x$ and $y$, $(x \geq y) or (y \geq x)$

  • Any bundle $x$ is always at least as preferred as itself, $x \geq x$

  • $(x \geq y) and (y \geq x) \rightarrow (x \geq z)$


Indifference Curve

假设一个 bundle 为 $x$,indifference curve 指的是所有可能的 bundle $y$ 使得 $y \sim x$,即 $\{y|y\sim x\}$,因此也叫 indifference set。当我们的 bundle 只考虑两种商品 $x_1$ 和 $x_2$ 时,indifference curve 为二维平面上的一条线,如下图:

一条曲线代表一条 indifference curve,curve 上的任意两个点 $x = (x_1,x_2)$ 和 $y = (x_1^\prime, x_2^\prime)$ 都满足 $x\sim y$,而不同的两条线上的点必定满足 strict preference 的关系,越往右上方的点,越会被 preferred,因此 $l_1$ 上的点都 strict preferred 于 $l_2$ 上的点。

Note:任意两条 indifference curve 必定是无交点的

Two Extreme Cases of Indifference Curve

Perfect Substitute

同样是考虑两种商品组成的 bundle,如果消费者认为商品一和商品二是等同的,那么这两个商品就是 perfect substitute,由于两者等同,因此在比较不同 bundle 哪个更加被 preferred 的时候,只需考虑两种商品的总数量即可。indifference curve 如下,不同的 curve 的斜率均为 -1。

Perfect Complement

商品一和商品二总是以固定的比例出现,比如对于一辆小汽车,总是 4 个车轮和 1 个发动机,因此商品一和商品二的比例总是 4:1,即使一个 bundle 里面有再多的车轮或者再多的发动机,我们也只能考虑能够成对的数量,作为是否被 preferred 的依据 (only the number of pairs of units of the two commodities determines the preference rank-order of bundles)

下面的例子中,商品一和商品二总是以 1:1 的比例出现,因此 (9,5)、(5,5) 和 (5,9) 都是 equally preferred,因为他们都有 5 pairs,而 (9,9) 则 strict preferred 于前面的三个点,因为它有 9 pairs,indifference curve 的形状为直角。

Marginal Rate-of-Substitution(MRS)

一条 indifference curve 的斜率就叫做 MRS,它所表示的意思是,我们愿意牺牲多少数量的商品一,去换取商品二,从而使得 equally preferred。对于 perfect substitute 来说,其 MRS 均为 -1,因为两者等同,因此少一个商品二,就会多一个商品一。


Utility Function

在前面,我们一直用 preference 来衡量两个 bundle 之间的关系,而 utility function(效用函数) 就是用来代表 preference 的

  • 若 $x > y$,则 $U(x) > U(y)$ (前者是 strict preference 符号,后者是数学符号)

  • 若 $x \sim y$,则 $U(x) = U(y)$

因此一条 indifference curve 上的所有点,我们都可以说他们的效用是一样的。

Note:效用值是一个 ordinal 的概念,即只关注两个 bundle 间效用的大小关系,至于效用值具体数值并不是关键,比如 x 的效用值为 6,y 的效用值为 2,只能说明 x 比 y 更加 preferred,并不表示 x 比 y 三倍的 preferred。因此假设 x 比 y 更为 preferred,我们可以赋值给 $U(x)$ 和 $U(y)$ 任何值,只要满足 $U(x) > U(y)$ 即可。

现在我们可以将 indifference curve 和 utility function 放在同一个坐标系里面,xOy 平面依旧是 indifference curve,z 维度表示效用值。

indifference map:所有的 indifference curve 的集合,其等同于 utility function。

几种不同的 utility function:

  • perfect substitute:$U(x_1,x_2)=x_1+x_2$

  • perfect complement:$U(x_1,x_2)=min(k_1x_1,k_2x_2)$

  • quasi-linear:$U(x_1,x_2)=f(x_1)+x_2$

  • Cobb-Douglas:$U(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$,indifference curve 都是双曲线状

Marginal Utility

The marginal utility of commodity $i$ is the rate-of-change of total utility as the quantity of commodity $i$ consumed changes.

Marginal Utility & Marginal Rate-of-Substitution

考虑具体的一条 indifference curve:$U(x_1, x_2)=k$

全微分后得:

化简后得到 MRS 和 MU 的关系

Monotonic transformation & MRS

假设 $V=f(U)$,对于新的效用函数 $V$,其对应的 MRS 为

因此 MRS 在经过一个正单向变换后,并不会改变


Optimal Choice and Demand Function

Rational Constrained Choice

作为消费者,我们当然想选择 utility 尽可能高的 bundle,但同时我们受商品价格以及预算的约束,假设商品一的价格为 $p_1$,商品二的价格为 $p_2$,预算为 $m$,那么我们选择的 bundle 必须满足 $p_1x_1+p_2x_2\leq m$,在这个约束下,我们再去考虑 utility 最大的 bundle。

假设 $p_1=p_2=1$,$m=4$,在约束下的为 affordable bundles,然后找到一条刚好与约束线相切的 indifference curve,相交点即为 most preferred affordable bundle,记为 $(x_1^{\ast},x_2^{\ast})$,又称为 ordinary demand。

对于 ordinary demand,其满足两个条件:

  • 预算用完:$p_1x_1^\ast+p_2x_2^\ast=m$

  • $(x_1^\ast,x_2^\ast)$ 处的斜率等于 constraint 的斜率 $-p_1/p_2$

几种不同效用函数下的 ordinary demand

Cobb-Douglas

$U(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$,该效用函数的 indifference curve 为双曲线,就像上面的图,因此我们需要找到切点,用 MU 计算 MRS,让其等于约束方程的斜率,即可算到 ordinary demand 为

Perfect Substitute

简单的通过图示法即可得到 ordinary demand,因为 perfect substitute 的 indifference curve 均为斜率 -1 的线,找到效用最大的即可。根据 $p_1$ 和 $p_2$ 的大小关系分为三种情况:

  • $p_1 > p_2$,$(x_1^\ast,x_2^\ast)=(0,\frac{m}{p_2})$
  • $p_1 < p_2$,$(x_1^\ast,x_2^\ast)=(\frac{m}{p_1},0)$
  • $p_1 = p_2$,$(x_1^\ast,x_2^\ast)$ 为 budget constraint 上的点

Perfect Complement

同样用图示法去解,ordinary demand 必定在直角拐点处,因此可以得到 ordinary demand 为

Demand Function

又叫 ordinary demand funtion,研究 $(x_1^\ast,x_2^\ast)$ 会随着 $p_1$、$p_2$ 和 $m$ 的变化而怎么变化,由于 $p_1$、$p_2$ 和 $m$ 会影响到 budget constraint,因此研究 demand function 可以让我们更快更直接的得到 ordinary demand。

在这里我们重点关注 own-price changes,比如在 $p_2$ 和 $m$ 不变的情况下,只改变 $p_1$,如下图,右边的即为 demand function,描述 $x_1^\ast$ 和 $p_1$ 之间的关系;

左边绿色的线是所有 ordinary demand 的连线,p1 price offer curve 指的是固定 $p_2$ 和 $m$, 只改变 $p_1$ 下的 ordinary demand 的变化线。因此可以从每个点中,算出对应的 $p_1$。


Market Demand & Elasticity

市场的 demand function 等于市场中每个消费者各自的 demand function 的和,即整个市场的需求量等于各个个体需求量之和

弹性的一般定义如下,研究的是一个变量 x 会随着另一个变量 y 如何变化

Own-Price Elasticity:Own-Price Elasticity 指的是价格 $p$ 和需求 $x^\ast$ 之间的弹性,它是一个点概念,一般我们不说某一条 demand function 的弹性,而说 demand function 的某一点的弹性,因为市场中我们一般处在 demand function 中的某一点,我们需要关注的是在这一点的基础上,增加或减少价格所带来需求的变化。其定义如下

demand function 中每个点的弹性可能都不一样,下面的例子中,根据弹性的大小分为三类:

  • $-\infty < \epsilon < -1$,own-price elastic
  • $\epsilon=-1$,own-price unit elastic
  • $-1 < \epsilon < 0$,own-price inelastic

revenue & own-price elasticity

销售者的 revenue 为:$R(p)=p \times X^*(p)$

revenue 随着价格 $p$ 的变化率为:

因此:

  • $-\infty < \epsilon < -1$,$\frac{dR}{dq}<0$,升价会导致销售者收入减少
  • $\epsilon=-1$,$\frac{dR}{dq}=0$,升价不会影响销售者收入
  • $-1 < \epsilon < 0$,$\frac{dR}{dq}>0$,升价会导致销售者收入增加

我们考虑需求函数的反函数 $p(q)$,其代表当销售者卖出 $q$ 件商品时的价格 $p$,因此 revenue 可以表示为 $R(q) = p(q)\times q$

同理 mariginal revenue 为:

因此:

  • $-\infty < \epsilon < -1$,$MR(q)>0$,需求增多会提高收入
  • $\epsilon=-1$,$MR(q)=0$,需求增多不会影响收入
  • $-1 < \epsilon < 0$,$MR(q)<0$,需求增多会减少收入

Note:$\frac{dR}{dp}$ 不能称为 marginal revenue,所有边界的概念都是指增加一单位的物品所带来的另外变量的变化,因此 $dp(q)/dq$ 才是 marginal revenue,而 $dR/dp$ 只能叫做 revenue 随着价格的变化率。

两种表达方式所表述的东西是一样的,假设 $\epsilon < -1$,那么增加一单位的价格带来的需求的减少量必定超过一单位,因此收入减少;而增加一单位的商品,价格的减少量是小于一单位的,因此收入增多。


Consumer Surplus

对于 demand curve $p_1=v^\prime(x_1)$,当消费者计划消费 $x_1^\prime$ 个商品一的时候,其消费者剩余为

消费者剩余指的是:消费者本身对商品有一个预期的价格,而市场价格比预期价格要低,因此出现了剩余,从公式中可以看出,第二项为实际支付的钱,而第一项则为需求在 $x_1^\prime$ 下的该消费者的平均预期所需要支付的钱,我们可以将积分项拆开

$v^\prime(x_1)x_1^\prime$ 为价格为 $v^\prime(x_1)$ 下购买 $x_1^\prime$ 个商品所需要支付的钱,将不同价格下所需要支付的钱进行一个平均,即为该消费者平均预期所需要支付的钱。


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